Понятие о задаче оптимизации

Проблема рационального водоотбора подземных вод всегда свя­зана с выбором из различных вариантов такого, который наиболее полно удовлетворяет поставленным критериям, т. е. выбирается оп­тимальный вариант. В качестве критериев оптималь­ности обычно принимают технико-экономические показатели. Но можно сузить задачу и поставить ее так: выбрать на основе некото­рых гидродинамических критериев такой наилучший (оптимальный) вариант размещения и режима работы водозаборных скважин (их рас­пределение, дебиты при заданном суммарном водоотборе), чтобы была достигнута поставленная цель и соблюдалась заданная гидрогеологи­ческая обстановка. В данном случае цель может быть, например, та­кой: получить максимальное количество воды за определенный срок. Рассмотрим содержание и последовательность решений задачи опти­мизации.

1. Заданы водоносный горизонт и эксплуатирующий его водоза­бор. Принимаем, что водоотбор зависит от основных N изменяющихся параметров. Такими параметрами являются число,, расход и конструкция водозаборных скважин, понижение уровней и другие характеристики водозаборного сооружения и месторождения подземных вод.
2. Формулируют цель, которую надо достичь в виде так называе­мой целевой функции Р, зависящей от этих параметров. Эта функция является математическим ре­зультатом решения всей задачи. Ее называют критерием опти­мизации, или показателем качества решения за­дачи. Оптимальных вариантов может быть выбрано много в зави­симости от того, каким критерием мы будем пользоваться, т. е. воз­никает так называемая многокритериальная постановка. Обычно за­дачу упрощают. Выбирают один критерий, наиболее важный для рассматриваемой задачи, и принимают его за целевую функцию. Ос­тальные критерии представляют в виде различных ограничений, ко­торыми оценивают, насколько можно допускать их частичное умень­шение или увеличение, добиваясь минимизации или максимизации целевой функции.Известно, что с гидродинамических позиций водоотбор считается обеспеченным, если расчетные значения понижений S_Р оказываются меньше допустимых S_Д0П. Поэтому в качестве критерия можно при­нять такое, например, требование: максимально продлить срок экс­плуатации месторождения при уеловии, что во всех водозаборных скважинах расчетные значения понижений достигают предельных зна­чений одновременно (что благоприятно для эксплуатации водозабора).

3. Выделяют главные параметры управления X, т. е. искомые характеристики, изменяя которые определенным об­разом находят решение задачи. Их число и конкретное содержание зависят от поставленной цели. В данном случае — это число скважин, их расположение и режим эксплуатации.
4. Формулируют ограничения, т. е. допустимые измене­ния параметров х.

Выделяют несколько стадий обоснования водохозяйственных ме­роприятий и отвечающих им стадий гидрогеологических изысканий и исследований. Для каждой из них могут быть сформулированы свои задачи оптимизации, различающиеся целями и параметрами уп­равления. Соответственно стадии определяются ограничения и обос­новываются их конкретное содержание и числовые значения. Так, на стадии детальной разведки, данные которой обосновывают проект водозабора, еще не утверждены число и схема размещения будущих водозаборных скважин, не определены окончательно их дебиты. Все эти показатели можно изменять и включать как искомые в постановку задачи оптимизации. Более того, еще не осуществлены капитальные- затраты на сооружение и обустройство водозабора, поэтому в каче­стве критерия оптимальности целесообразно принять экономические показатели, например минимизировать приведенные затраты, а все гидрогеологические и другие показатели представить в виде ограни­чений. На стадии эксплуатационной разведки строительство водоза­борных скважин закончено, капитальные затраты сделаны, водоза­бор работает. Число, конструкция, местонахождение скважин выб­раны и изменять их нельзя. В этом случае основным критерием ста­новится гидродинамический (например, максимальный срок эксплуа­тации водозабора), а искомым параметром — оптимальное распреде­ление дебитов между действующими водозаборными скважинами. За­дача максимального продления срока эксплуатации водозабора имею­щимся насосным оборудованием при заданном режиме водопотребления встречается на практике часто в связи с тем, что производитель­ность водозабора лимитирована величиной эксплуатационных запа­сов месторождения и пропускной способностью магистральных водо­водов.

С таким целевым назначением рассмотрим ниже конкретную ма­тематическую постановку задачи оптимизации водоотбора.