Обобщенные законы фильтрации

Закон Дарси описывает линейную связь V и I, которая на графике  представлена прямой ли­нией. Закон Дарси справедлив в широких пределах, о чем свиде­тельствуют натурные данные, однако он может нарушаться, поэтому существуют верхний и нижний пределы его применения. В первом случае имеется в виду применимость линейного закона фильтрации к движению подземных вод главным образом в закарстованных по­родах и породах с крупными системами открытых трещин; во втором— к движению воды в глинистых, тонкодисперсных породах.

При высоких скоростях движения проявляются инерционно- пульсационные силы, имеющие квадратичную зависимость от скоро­сти течения , а при движении в тонкодисперс­ных породах — силы молекулярного взаимодействия, структурирующиё жидкость и тем самым усиливающие тормозящее действие сил внутреннего сопротивления .

Для оценки верхнего предела применимости линейного закона используют известный из гидравлики критерий — число Рейнольдса и по его величине определяют критиче­ское значение скорости фильтрации, используя вместо скорости и движения воды в трубе и диаметра этой трубы значения V, эффектив­ного диаметра d_э песчаной породы или коэффициента проницаемости к_п трещиноватой породы. Для пористых сред, согласно Н. Н. Павлов­скому , критерий равен:

Графическое изображение обобщенного закона Дарси

где,графики: 1-линейного закона Дарси; 2-приближенной линейной зависимости для переходно­го режима фильтрации,3-обобщенного закона при линейно-турбулентном режиме филь­трации;4-то же, при линейно-вязкопластическом движении; 5-то же, с учетом молекулярного взаимодействия.

Есть и другие формы представления критерия и значения чисел Rе_кр. Большой диапазон чисел Rе_кр связан с изме­нением структуры порово-трещинного пространства разных пород при близких значениях п и d_э  Экспериментальные данные показы­вают, что даже для пород с коэффициентами фильтрации 1000 м/сут условие  часто выполняется в силу того, что в естественных ус­ловиях высоким значениям коэффициента фильтрации соответствуют малые (порядка 10^_3 и менее) значения напорных градиентов (так как силы сопротивления движению воды малы). По В. М. Шестакову, значения U_Кр для средне-и крупнозернистых песков и галечни­ков с k = 25—450 м/сут при I_кр = 10—1 составляют соответственно 100—400 м/сут, что значительно ниже величин I_т и U_т, отвечающих турбулентному движению.

Отклонения от линейного закона связаны в основном с высокими значениями напорных градиентов и зонами резкой интенсификации потока подземных вод, что в естественных гидрогеологических усло- вях встречается редко и может наблюдаться на локальных участках вблизи инженерных сооружений, например в зоне плотин со значи­тельным подъемом уровня воды, вблизи водозаборных скважин при откачках из высокопроницаемых отложений со значительными пони­жениями уровня воды в этих скважинах и т. п. Каждый такой случай требует специального обоснования.

Исходя из принципа независимости действия вязкого трения и инерционно-пульсационных сил, Р. Прони предложил обобщенную форму основного закона фильтрации в виде двухчленной зависимости I= аи + 6U², а Ф. Форхгеймер использовал ее в 1895 г. для описа­ния процесса фильтрации. Она исследована во многих работах. Первый член ее характеризует ламинарное течение, а второй — течение, в котором проявляются инерционно-пульсационные силы. В работе В. М. Шестакова  предложена более удобная запись:

где к — коэффициент фильтрации при ламинарном режиме; α - ко­эффициент нелинейности фильтрации. Из формулы выше следует не­обходимость учета нелинейного движения в случаях, когда величина αU соизмерима с единицей.Параметр нелинейности определяется из выражения:

Физическая модель нарушения линейного закона фильтрации и фор­мирования переходного и турбулентного режимов в крупной трещине

Виды движения: Л — ламинарное, П — переходное, Т — турбулентное; ТП — точки перегиба; ЯТ — ядро турбулентности.

Экспериментальными работами установлено наличие зоны пере­ходного режима,, в которой приближенно со­блюдается линейный закон, но коэффициент пропорциональности имеет иное значение к_т. Нарушение линейности происходит в тех случаях, когда кинематическая энергия потока превышает силы вязкости и на­чинает деформироваться параболический профиль скорости (смотри рисунок выше), т. е. идет как бы процесс сжатия потока в щел.и (ламинарное движе­ние с меньшей раскрытостью щели). На эпюре скорости появляется ядро турбулентности, которое расширяется к стенкам щели, эпюра скорости становится более плоской и, наконец, когда ядро достигает стенок щели, наступает турбулентный режим. Послед­ний этап в потоках подземных вод практически не наступает.

При малых скоростях фильтрации нарушение закона Дарси свя­зывают главным образом с проявлением сил молекулярного взаимо­действия. На отклонение от закона Дарси при малых скоростях филь­трации впервые обратили внимание в конце XIX в., позднее это яв­ление исследовали Н. П. Пузыревский, К. П. Лундин, П. А. Ребин­дер, Б. В. Дерягин, С. А. Роза, С. В. Нерпин, а в 1970-е гг.— Н. Ф. Бондаренко, И. П. Амаглобели и др. Было установлено, что движение воды в тонкодисперсных породах характеризуется сложной зависимостью V от I : 1) при I <I₀ вязкое те­чение потока, как его понимают в теории сплошных сред, отсутствует;

1)при I <I₀ возникает течение, в котором проявляются вязкопласти­ческие и реологические свойства жидкости, и как отмечал В, А. Приклонский, коэффициент фильтрации — переменная величина, завися­щая от градиента (под влиянием градиента внешние слои связанной роды постепенно вовлекаются в процесс фильтрации, увеличивая тем самым сечение пор, а следовательно, и проницаемость породы); 2) при I <I₀ все возможное при данных условиях количество связанной воды переходит в гравитационную воду, коэффициент фильтрации становится постоянной величиной, а фильтрация отвечает закону Дарси.

Нарушение закона Дарси установлено и изучено в лабораторных условиях, при которых значения I₀ для глин имеют порядок 1—10 и более,для тонко- и мелкозернистых песков 10^-1—10^-3. В ре­альных условиях в глинистых толщах проявление, реологических свойств и начального градиента пока не выявлено. По-видимому, это связано с тем, что в крупных порах вода ведет себя как ньютоновская жидкость, и через системы таких пор и песчаные прослойки фильтра­ция идет в соответствии с законом Дарси.

Движение, воды в глинистых породах представляет значительный интерес, так как более 60 % разреза земной коры сложено главным образом глинистыми породами. Физические основы движения в тонко­дисперсных породах исследуются 6 настоящее время с двух позиций: механики сплошных сред на основе модели вязкопластического дви­жения и молекулярно-кинетической, теории .

Рассмотрим наиболее распространенную модель вязкопластиче­ского движения, в которой касательные напряжения характеризуются зависимостью. Примем пористую среду в виде системы капил­лярных трубок радиусом r_т и получим связь скорости V филь­трации с расходом Qт воды в капиллярной трубке площадью попереч­ного сечения. При поперечном сечении , расходе потока Q и пористости породы п,расход в каждой равен:

Пластическое течение имеет релаксационный характер и при I <I₀ может существовать поток «ползучести», однако скорость его проявления, по-видимому, мала. Заметим, что эта модель предпола­гает наличие начального сдвига т₀ во всем объеме воды в зоне, заня­той пластическим телом, а сама зона располагается вблизи оси ка­пилляра. Такая модель не адекватно отражает фи­зическую картину движения жидкости в тонком капилляре. При на­личии молекулярных взаимодействий в поре возникно­вение вязкого течения наиболее вероятно вблизи оси капилляра, где влияние этих взаимодействий мало. Кроме того, неравномерность распределения по сечению поры энергии молекулярного взаимо­действия противоречит предпосылке существования в объеме струк­турированной жидкости одинакового начально сдвига т₀, а следова­тельно, и справедливости использования условия .

Рассмотрим фильтрацию подземных вод в горных породах с пози­ций молекулярно-кинетической теории растворов: а) вовлечение молекул жидкости, находящихся у контакта с твердой фазой, в так называемое движение в объеме, т. е. под преи­мущественным действием внешних сил, определяется соотношением двух дополнительных (к трансляционной) энергий: Δ Е_В, которую получает данная молекула от молекулы, движущейся под влиянием градиента внешнего давления, и Δ Е_а — от взаимодействия с твердой фазой в этой точке. Если Δ Е_В < Δ Е_а, то молекула остается у кон­такта, если Δ Е_В > Δ Е_а, то она продолжает движение в объеме; б) в гравитационном поле все молекулы жидкости движутся в сторону падения напора (уменьшения потенциального барьера).

Используя условие Δ Е_В = Δ Е_а, что отвечает положению моле­кулы на границе раздела связанной и свободной воды, и при кон­кретных выражениях для Δ Е_В и Δ Е_а, А. Г. Арье получил формулу для определения толщины h пленки:

При I <I₀ предполагается, что идет молекулярный перенос и ча­стицы порового раствора движутся, но не создают потока, отвечаю­щего понятиям механики сплошных сред. На оси каждого капилляра равнодействующая поверхностных сил равна нулю, и следовательно, при действии внешней силы молекула, случайно попав в результате трансляционного движения на ось капилляра, в это мгновение имеет наибольшую вероятность переместиться по на­правлению действия I. С увеличением градиента количество движу­щихся таким образом молекул возрастает, но назвать это потоком жидкости еще нельзя, так как их объем соизмерим с размерами самих молекул. Скорость этого переноса пропорциональна градиенту напора.

В глинах удельная поверхность контакта с твердой фазой состав­ляет десятки и более квадратных метров. Отсюда вытекает настоятель­ная необходимость изучения движения подземных вод особенно в глу­боких горизонтах гидролитосферы с учетом молекулярных взаимо­действий на основе молекулярно-кинетической теории.