Краткая характеристика основных методов решения дифференциальных уравнений

В относительно простых гидрогеологических условиях получают решения аналитическими методами; в сложных условиях используют моделирование, привлекая вычислительную технику.

Все многообразие методов можно условно свести к трем группам. В первую группу входят строгие гидромеханические и ана­литические способы решения. Уравнения Лапласа и Пуассона, описы­вающие стационарную одномерную фильтрацию, интегрируются непосредственно при заданных граничных условиях. При плоско­вертикальной фильтрации используют метод конформных преобразо­ваний из теории аналитических функций. Дифферен­циальные уравнения нестационарной фильтрации решают методами математической физики (операционным исчислением, разложением в ряды Фурье и др.

Дифференциальные уравнения радиальной и планово-радиальной фильтрации, характеризующие приток воды к скважинам, решаются с использованием теории линейных и точечных стоков (или источни­ков) на плоскости или в пространстве. В гидромеханике источниками и стоками называют особые математические точки и ли­нии, которые соответственно выделяют или поглощают жидкость, не имеют поперечных размеров, т. е. r=0, а линии характеризуются некоторой длиной l. Скважины с коротким фильтром рассматривают как точечный, а с длинным фильтром — как линейный источник (от­качка) или сток (нагнетание). В результате решения устанавливается функциональная связь динамических функций процесса фильтрации Н и Q. с влияющими на них факторами х,у,t,Т,а и т. п. Это одно из достоинств рассматриваемых методов. Однако значительное упро­щение природной обстановки может привести к получению недоста­точно надежных практических результатов.

Графические методы основаны на использовании гидродинамиче­ских сеток, которые строят вручную по правилам, изложенным выше, а в сложных условиях применяют методы моделирования. К этим способам относится известный метод недеформируемых лент (трубок) тока. Метод фрагментов предусматривает разбиение по­тока на части, для которых ранее получены решения, или их можно получить в более простой постановке, чем исходная. Полученные ре­шения «склеиваются» с использованием граничных условий четвер­того рода и метода суперпозиции. Основное достоинство этих мето­дов — простота нахождения инженерных решений, обеспечивающих приемлемую точность практических результатов. Однако и здесь тре­буются значительные упрощения гидрогеологической обстановки.

Третья группа включает различные способы моделиро­вания. Появляется возможность учесть большее число действующих факторов и меньше упрощать гидрогеологическую обстановку. В от­личие от первой группы эти решения не являются функциональными, и для установления закономерностей влияния различных факторов на результаты решения должны быть выполнены неоднократно с ис­пользованием всех факторов и всего диапазона их изменения.

Теоретическая основа большинства методов математического мо­делирования — это численные методы. Обработка информации в этой группе методов требует значи­тельно большего времени, чем в первых двух группах, так как надо изучить и отобразить в модели большое число факторов. Построение моделей — это своего рода искусство, в котором интуиция и опыт ис­следователя играют важную роль и помогают правильно пользоваться разнообразными методическими приемами. Подробно такие методы рассматриваются в работах. На практике обычно ис­пользуют методы разных групп в комплексе, что позволяет получать достаточно достоверные инженерные решения.