Понятие о математической постановке задачи и условиях однозначного решения дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение описывает класс подобных процес­сов фильтрации. Для выделения из этого класса конкретного процесса необходимо составить замкнутую, или полную, систему уравнений, которая обеспечит получение единственного решения диф­ференциального уравнения. Для этого дополнительно к дифферен­циальному уравнению записывают условия однозначного решения: а) характеристику геометрических размеров области, для которой ищется конкретное решение; б) числовые или функцио­нальные значения физических параметров фильтрационной среды;в)  исходные граничные условия; г) начальные условия при нестацио­нарной фильтрации. Эти условия — есть краткая математическая за­пись принятой расчетной схемы, полученной в результате схемати­зации.

Совокупность целевого гидрогеологического назначения решения задачи и полной системы уравнений, описывающих математические условия ее решения, называют математической поста­новкой задачи. Целевое содержание формулируется обычно словами, а математические условия решения отображаются графи­чески расчетной схемой, на которой показывают все принятые усло­вия однозначности, и записью ис­ходного дифференциального урав­нения.

Приведем пример математичес­кой постановки. Пусть требуется оценить развитие подпора грунто­вых вод в речной долине.Для этого надо найти уравнение, по которому мож­но рассчитать отметку уровня Н_хt грунтовых вод в любой точке и в любой момент времени на участке l₁. Подпор формируется под влиянием созданного на реке водохра­нилища с быстрым (мгновенным) подъемом воды на урезе на вели­чину Δ Н⁰ = Н ₂—Н₁.